Question

18．已知圆C：（x-3）²+（y-4）²=1和两点A（-m，0），B（m，0）（m＞0）．若圆上存在点P使得$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=0$，则m的取值范围是（　　）

• A． （-∞，4]
• B． （6，+∞）
• C． （4，6）
• D． [4，6]

Answer 1

分析 根据题意，得出圆C的圆心C与半径r，设点P（a，b）在圆C上，表示出$\overrightarrow{AP}$=（a+m，b），$\overrightarrow{BP}$=（a-m，b），利用$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=0$，求出m²，根据|OP|表示的几何意义，得出m的取值范围．

解答 解：∵圆C：（x-3）²+（y-4）²=1，
∴圆心C（3，4），半径r=1；
设点P（a，b）在圆C上，则$\overrightarrow{AP}$=（a+m，b），$\overrightarrow{BP}$=（a-m，b）；
∵$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=0$
∴（a+m）（a-m）+b²=0；
即m²=a²+b²；
∴|OP|=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，
∴|OP|的最大值是|OC|+r=5+1=6，最小值是|OC|-r=5-1=4；
∴m的取值范围是[4，6]．
故选D．

点评 本题考查了平面向量的应用问题，也考查了直线与圆的应用问题，是综合性题目．