Question

7．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦点为F₁（-$\sqrt{6}$，0），e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）如图，设R（x₀，y₀）是椭圆C上一动点，由原点O向圆（x-x₀）²+（y-y₀）²=4引两条切线，分别交椭圆于点P，Q，若直线OP，OQ的斜率存在，并记为k₁，k₂，求证：k₁•k₂为定值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试问OP²+OQ²是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意得，c，a，推出b，即可得到椭圆的方程．
（Ⅱ）由已知，直线OP：y=k₁x，OQ：y=k₂x，且与圆R相切，列出方程，说明k₁，k₂是方程$k_{\;}^2-2{x_0}{y_0}{k_{\;}}+y_0^2-4=0$的两个不相等的实数根，推出${k_1}{k_2}=\frac{y_0^2-4}{x_0^2-4}$，通过点R（x₀，y₀）在椭圆C上，化简求解即可．
（Ⅲ）OP²+OQ²是定值18．设直线OP：y=k₁x，OQ：y=k₂x，联立$\left\{\begin{array}{l}y={k_1}x\\ \frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{6}=1\end{array}\right.$解得$x_1^2+y_1^2=\frac{{12（{1+k_1^2}）}}{1+2k_1^2}$
同理，得$x_2^2+y_2^2=\frac{{12（{1+k_2^2}）}}{1+2k_2^2}$，然后计算OP²+OQ²=${{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}$+${{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}$化简求解即可．

解答 （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题意得，$c=\sqrt{6}，e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，解得$a=2\sqrt{3}$，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{6}$…（1分）
∴椭圆方程为$\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{6}=1$…（3分）
（Ⅱ）由已知，直线OP：y=k₁x，OQ：y=k₂x，且与圆R相切，
∴$\frac{{|{{k_1}{x_0}-{y_0}}|}}{{\sqrt{1+k_1^2}}}=2$，化简得$（{x_0^2-4}）k_1^2-2{x_0}{y_0}{k_1}+y_0^2-4=0$
同理$（{x_0^2-4}）k_2^2-2{x_0}{y_0}{k_2}+y_0^2-4=0$，…（5分）
∴k₁，k₂是方程$k_{\;}^2-2{x_0}{y_0}{k_{\;}}+y_0^2-4=0$的两个不相等的实数根
∴$x_0^2-4≠0$，△＞0，${k_1}{k_2}=\frac{y_0^2-4}{x_0^2-4}$…（7分）
∵点R（x₀，y₀）在椭圆C上，所以$\frac{x_0^2}{12}+\frac{y_0^2}{6}=1$，即$y_0^2=6-\frac{1}{2}x_0^2$
∴${k_1}{k_2}=\frac{{2-\frac{1}{2}x_0^2}}{x_0^2-4}=-\frac{1}{2}$…（8分）
（Ⅲ）OP²+OQ²是定值18．
设直线OP：y=k₁x，OQ：y=k₂x，${k}_{1}•{k}_{2}=-\frac{1}{2}$，
联立$\left\{\begin{array}{l}y={k_1}x\\ \frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{6}=1\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}x_1^2=\frac{12}{1+2k_1^2}\\ y_1^2=\frac{12k_1^2}{1+2k_1^2}\end{array}\right.$
∴$x_1^2+y_1^2=\frac{{12（{1+k_1^2}）}}{1+2k_1^2}$
同理，得$x_2^2+y_2^2=\frac{{12（{1+k_2^2}）}}{1+2k_2^2}$…（10分）
由OP²+OQ²=${{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}$+${{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}$=$\frac{{12（{1+k_1^2}）}}{1+2k_1^2}+\frac{{12（{1+k_2^2}）}}{1+2k_2^2}$，
∴OP²+OQ²=$\frac{{12（{1+k_1^2}）}}{1+2k_1^2}+\frac{{12（{1+k_2^2}）}}{1+2k_2^2}$
=$\frac{{12（{1+k_1^2}）}}{1+2k_1^2}+\frac{{12（{1+k_2^2}）}}{1+2k_2^2}$=$\frac{{12（{1+k_1^2}）}}{1+2k_1^2}+\frac{{12（{1+k_2^2}）}}{1+2k_2^2}$
=$\frac{{12（{1+k_1^2}）}}{1+2k_1^2}+\frac{{12（{1+{{（{-\frac{1}{{2{k_1}}}}）}^2}}）}}{{1+2{{（{-\frac{1}{{2{k_1}}}}）}^2}}}=\frac{18+36k_1^2}{1+2k_1^2}=18$
综上：OP²+OQ²=18…（12分）

点评 本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查分类讨论思想、转化思想以及计算能力．