Question

16．已知：
$1+2+3+…+n=\frac{n（n+1）}{2}$；
$1×2+2×3+…+n（n+1）=\frac{n（n+1）（n+2）}{3}$；
$1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）=\frac{n（n+1）（n+2）（n+3）}{4}$，
利用上述结果，计算：1³+2³+3³+…+n³=$\frac{{{n^2}{{（n+1）}^2}}}{4}$．

Answer 1

分析 利用n⁴-（n-1）⁴=4（n-1）³+6（n-1）²+4（n-1）+1，再叠加，结合条件，可得结论．

解答 解：∵（n+1）⁴=n⁴+4n³+6n²+4n+1，
∴（n+1）⁴-n⁴=4n³+6n²+4n+1，
∴n⁴-（n-1）⁴=4（n-1）³+6（n-1）²+4（n-1）+1，
…
3⁴-2⁴=4×2³+6×2²+4×2+1
2⁴-1⁴=4×1³+6×1²+4×1+1
上述n个等式相加，得
（n+1）⁴-1⁴=4（1³+2³+…+n³）+6（1²+2²+…+n²）+4（1+2+…+n）+n，
∴4（1³+2³+…+n³）=（n+1）⁴-1-6（1²+2²+…+n²）-4（1+2+…+n）-n
=（n+1）⁴-6×$\frac{1}{6}$n（n+1）（2n+1）-4×$\frac{n（n+1）}{2}$-（n+1）
=（n+1）[（n+1）³-n（2n+1）-2n-1]
=（n+1）（n³+n²）
∴1³+2³+…+n³=$\frac{{{n^2}{{（n+1）}^2}}}{4}$，
故答案为$\frac{{{n^2}{{（n+1）}^2}}}{4}$．

点评 本题考查的知识点是归纳推理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．