Question

12．已知函数f（x）=-$\sqrt{3}sinxsin（x+\frac{π}{2}）+{cos^2}x-\frac{1}{2}$（x∈R）．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）函数f（x）的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，再向右平移$\frac{π}{6}$个单位长度，得g（x）的图象，求函数y=g（x）在x∈[0，π]上的最大值及最小值．

Answer 1

分析 1）利用二倍角和诱导公式以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；
（2）通过图象平移变换，求解出g（x），x∈[0，π]时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出g（x）的取值最大和最小值．

解答 解析：函数f（x）=-$\sqrt{3}sinxsin（x+\frac{π}{2}）+{cos^2}x-\frac{1}{2}$（x∈R）．
化简可得：$f（x）=-\sqrt{3}sinxcosx+{cos^2}x-\frac{1}{2}=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x+\frac{1}{2}cos2x=cos（2x+\frac{π}{3$）
由$2kπ-π≤2x+\frac{π}{3}≤2kπ$是单调递增，
解得：$kπ-\frac{2π}{3}≤x≤kπ-\frac{π}{6}\;（k∈Z）$
所以函数f（x）的单调递增区间为$[{kπ-\frac{2π}{3}，kπ-\frac{π}{6}}]\;（k∈Z）$
（2）函数f（x）=cos（2x+$\frac{π}{3}$）的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，再向右平移$\frac{π}{6}$个单位，得$g（x）=cos（x+\frac{π}{6}）$
∵x∈[0，π]
∴$x+\frac{π}{6}∈[{\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}}]$，
∴$cos（x+\frac{π}{6}）∈[{-1，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}]$．
故得：当x=0时，g（x）有最大值$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
当$x=\frac{5π}{6}$时，g（x）有最小值-1．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．考查函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，属于中档题．