Question

3．某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）$（ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}）$在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：

ωx+φ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	$\frac{π}{12}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{7π}{12}$	$\frac{5π}{6}$
f（x）=Asin（ωx+φ）	0	5	0	-5	0

（1）请将如表数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式；
（2）将函数y=f（x）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，求y=g（x）的图象离原点O最近的对称中心．
（3）求当$x∈[-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}]$时，函数y=g（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）根据用五点法作函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期上的简图的方法，求得A、ω、φ的值，可得函数的解析式，并得到完整的表格．
（2）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，求得y=g（x）的图象离原点O最近的对称中心．
（3）利用正弦函数的定义域和值域，求得当$x∈[-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}]$时，函数y=g（x）的值域．

解答 解：（1）根据所给的表格可得A=5，$\frac{T}{2}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{2π}{ω}$=$\frac{5π}{6}$-$\frac{π}{3}$，∴ω=2，结合五点法作图可得2•$\frac{π}{3}$+φ=$\frac{π}{2}$，∴φ=-$\frac{π}{6}$，
∴f（x）=5sin（2x-$\frac{π}{6}$）．
根据五点法作图可得表格具体为：

ωx+φ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	$\frac{π}{12}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{7π}{12}$	$\frac{5π}{6}$	$\frac{13π}{12}$
f（x）	0	5	0	-5	0

（2）将函数y=f（x）=5sin（2x-$\frac{π}{6}$）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位长度，
得到函数y=g（x）=5sin[2（x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]=5sin（2x+$\frac{π}{6}$）的图象，
令2x+$\frac{π}{6}$=kπ，求得x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，k∈Z，
故y=g（x）的图象离原点O最近的对称中心为（-$\frac{π}{12}$，0）．
（3）求当$x∈[-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}]$时，2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，故当2x+$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{3}$时，g（x）取得最小值为-$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
当2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$时，g（x）取得最大值为5，故函数y=g（x）的值域为[-$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，5]．

点评 本题主要考查用五点法作函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期上的简图，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．