Question

4．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面AA₁C₁C⊥底面ABC，AA₁=A₁C=AC=AB=BC=2，且点O为AC中点．
（Ⅰ）证明：A₁O⊥平面ABC；
（Ⅱ）求三棱锥C₁-ABC的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出A₁O⊥AC，由此能证明A₁O⊥平面ABC．
（Ⅱ）推导出C₁到平面ABC的距离等于A₁到平面ABC的距离，从而${V_{{C_1}-ABC}}={V_{{A_1}-ABC}}$，由此能求出三棱锥C₁-ABC的体积．

解答 （本小题满分12分）
证明：（Ⅰ）∵AA₁=A₁C，且O为AC的中点，
∴A₁O⊥AC，…（2分）
又∵平面AA₁C₁C⊥平面ABC，
平面AA₁C₁C∩平面ABC=AC…（4分）
且A₁O?平面AA₁C₁C，
∴A₁O⊥平面ABC…（6分）
解：（Ⅱ）∵A₁C₁∥AC，A₁C₁?平面ABC，AC?平面ABC，
∴A₁C₁∥平面ABC，
即C₁到平面ABC的距离等于A₁到平面ABC的距离…（8分）
由（Ⅰ）知A₁O⊥平面ABC且${A_1}O=\sqrt{A{A_1}^2-A{O^2}}=\sqrt{3}$，…（9分）
∴三棱锥C₁-ABC的体积：
${V_{{C_1}-ABC}}={V_{{A_1}-ABC}}=\frac{1}{3}{S_{△ABC}}•{A_1}O=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}×\sqrt{3}=1$…（12分）

点评 本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．