Question

13．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=8，a_n=3S_n-1+8（n≥2）
（1）记b_n=log₂a_n，求数列{b_n}的通项公式；
（2）在（1）成立的条件下，设${c_n}=\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}$，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）根据数列的递推公式和对数的运算性质即可求出数列{b_n}的通项公式，
（2）利用裂项求和即可求出数列{c_n}的前n项和T_n．

解答 解：（1）a₁=8，a_n=3S_n-1+8（n≥2），
∴a_n-1=3S_n-2+8，
∴a_n-a_n-1=3S_n-1+8-3S_n-2-8=3a_n-1，
∴a_n=4a_n-1，
∴{a_n}是以4为公比的等比数列，
∵a₁=8，
∴a_n=8•4^n-1=2•4ⁿ=2²ⁿ⁺¹，
∴b_n=log₂a_n=2n+1，
（2）${c_n}=\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}$=$\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$），
∴T_n=$\frac{1}{2}$[（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$）+…+（$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$）]=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{2n+3}$）=$\frac{n}{6n+9}$．

点评 本题考查了数列的递推公式和裂项求和，属于中档题．