Question

4．己知不等式|x一1|≤1的解集为A，关于x的不等式$\frac{x-a}{x+1}$＜0的解集为B，
（1）当a=1时，求集合A∪B；
（2）若对于任意的实数x₀∈A，都有x₀∈B，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由绝对值不等式的解法求出集合A，把a=1代入不等式，由分式不等式、一元二次不等式的解法求出集合B，由并集的运算求出A∪B；
（2）由条件可得A⊆B，将分式不等式转化后，对a分类讨论，分别由子集的定义，求出实数a的取值范围．

解答 解：（1）由|x-1|≤1得-1≤x-1≤1，解得0≤x≤2，
则集合A=[0，2]，
当a=1时，不等式$\frac{x-a}{x+1}＜0$化为（x+1）（x-1）＜0，
解得-1＜x＜1，则B=（-1，1），
∴A∪B=（-1，2]；
（2）∵对于任意的实数x₀∈A，都有x₀∈B，
∴A⊆B，即[0，2]⊆B，
不等式$\frac{x-a}{x+1}＜0$化为（x+1）（x-a）＜0，
①当a≤-1时，不满足A⊆B；
②当a＞-1时，集合B=（-1，a），
∵[0，2]⊆（-1，a），∴a＞2，
∴实数a的取值范围是（2，+∞）．

点评 本题考查绝对值不等式、分式不等式的等价转化及解法，一元二次不等式的解法，考查分类讨论思想，转化思想，化简、变形能力．