Question

13．抛物线y²=4x的焦点为F，斜率为1的直线l过点F，且与抛物线相交于A，B两点，M是AB中点．
（1）求弦AB的长；
（2）若MH垂直于准线，垂足为H．求∠AHB的度数．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线方程求得抛物线的焦点坐标，进而根据点斜式求得直线的方程与抛物线方程联立，消去y，根据韦达定理求得x₁+x₂=的值，进而根据抛物线的定义可知|AB|=x₁+$\frac{p}{2}$+x₂+$\frac{p}{2}$=x₁+x₂+p，求得答案．
（2）过A，B做准线的垂线，垂足分别为P，Q，则|AP|=|AF|，|BQ|=|BF|，得出以AB为直径的圆M与准线相切于H，即可得出结论．

解答 解：（1）抛物线焦点为（1，0），且斜率为1，
则直线方程为y=x-1，代入抛物线方程y²=4x得
x²-6x+1=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∴x₁+x₂=6
根据抛物线的定义可知|AB|=x₁+$\frac{p}{2}$+x₂+$\frac{p}{2}$=x₁+x₂+p=6+2=8；
（2）过A，B做准线的垂线，垂足分别为P，Q，则|AP|=|AF|，|BQ|=|BF|，
∴|AB|=|AF|+|BF|=|AP|+|BQ|，
∵M是AB的中点，
∴|MH|=$\frac{|AP|+|BQ|}{2}$=4，
∴以AB为直径的圆M与准线相切于H，
∴∠AHB=90°．

点评 本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系，抛物线的简单性质．关键是：将直线的方程代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根与系数的关系，利用弦长公式即可求得|AB|值，从而解决问题．