Question

3．已知如图，PA、PB、PC互相垂直，且长度相等，E为AB中点，则直线CE与平面PAC所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

Answer 1

分析 建立空间直角坐标系，求出平面PAC的法向量，向量CE，利用空间向量的数量积求解即可．

解答 解：PA、PB、PC互相垂直，以P为坐标原点，PA、PB、PC分别为x，y，z轴，
设PA=2，则平面PAC的法向量可以为$\overrightarrow{n}$=（2，0，0），E（1，0，1），C（0，2，0），
$\overrightarrow{CE}$=（1，-2，1），
直线CE与平面PAC所成角的正弦值为：$|\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{CE}|}|$=$\frac{2}{2•\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

点评 本题考查直线与平面所成角的求法．考查空间向量数量积的应用，是基础题．