Question

11．在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=1，AA₁=2，D为BB₁的中点，则AD与平面AA₁C₁C所成角的余弦值为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{6}}}{4}$
• D． $\frac{{\sqrt{10}}}{4}$

Answer 1

分析 以A为原点，在平面ABC内过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AD与平面AA₁C₁C所成角的余弦值．

解答 解：以A为原点，在平面ABC内过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，
∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=1，AA₁=2，D为BB₁的中点，
∴A（0，0，0），D（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，1），$\overrightarrow{AD}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{1}{2}，1$），
平面AA₁C₁C的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，0，0），
AD与平面AA₁C₁C所成角为θ，
则sinθ=$\frac{|\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{AD}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
∴cosθ=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{6}}{4}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{4}$．
∴AD与平面AA₁C₁C所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{10}}{4}$．
故选：D．

点评 本题考查线面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．