Question

6．若在（$\sqrt{x}$+$\frac{2}{\sqrt{x}}$）ⁿ的展开式中，第3项为常数项，且含x项的系数为a，则直线y=$\frac{a}{4}$x与曲线y=x²所围成的封闭区域的面积为$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 首先利用二项式定理求出a，然后根据定积分的几何意义求封闭图形的面积．

解答 解：因为在（$\sqrt{x}$+$\frac{2}{\sqrt{x}}$）ⁿ的展开式中，第3项为常数项，所以${C}_{n}^{2}（\sqrt{x}）^{n-2}（\frac{2}{\sqrt{x}}）^{2}={C}_{n}^{2}（\sqrt{x}）^{n-4}×4$为常数项，所以n=4，
又含x项的系数为a，所以${C}_{4}^{r}×{2}^{r}（\sqrt{x}）^{4-2r}={C}_{4}^{r}{2}^{r}{x}^{2-r}$，令2-r=1，得r=1，所以a=8，
所以直线y=2x曲线y=x²所围成的封闭区域的面积为${∫}_{0}^{2}（2x-{x}^{2}）dx$=（x${\;}^{2}-\frac{1}{3}{x}^{3}$）|${\;}_{0}^{2}$=$\frac{4}{3}$；
故答案为：$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了二项式定理的运用以及定积分的应用；正确求出a是解答的前提，利用定积分求封闭图形的面积是关键．