Question

1．已知椭圆O：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）过点（$\sqrt{3}$，-$\frac{1}{2}$），A（x₀，y₀）（x₀y₀≠0），其上顶点到直线$\sqrt{3}$x+y+3=0的距离为2，过点A的直线l与x，y轴的交点分别为M、N，且$\overrightarrow{AN}$=2$\overrightarrow{MA}$．
（1）证明：|MN|为定值；
（2）如图所示，若A，C关于原点对称，B，D关于原点对称，且$\overrightarrow{BD}$=λ$\overrightarrow{NM}$，求四边形ABCD面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）其上顶点（0，b）到直线$\sqrt{3}$x+y+3=0的距离为2，利用点到直线的距离公式可得$\frac{b+3}{2}=2$，根据椭圆O：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）过点（$\sqrt{3}$，-$\frac{1}{2}$），解得a²．可得椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．设经过点A的直线方程为：y-y₀=k（x-x₀），可得M$（{x}_{0}-\frac{{y}_{0}}{k}，0）$，N（0，y₀-kx₀）．利用$\overrightarrow{AN}$=2$\overrightarrow{MA}$，可得k=-$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}}$．利用两点之间的距离公式可得|MN|．
（2）设∠AOD=α．由$\overrightarrow{BD}$=λ$\overrightarrow{NM}$，可得2|OD|=3λ．由题意可得：S_{四边形ABCD}=$4×\frac{1}{2}|OA|•|OD|sinα$=2×$\frac{3λ}{2}$|OA|•sinα，即可得出．

解答 （1）证明：其上顶点（0，b）到直线$\sqrt{3}$x+y+3=0的距离为2，∴$\frac{b+3}{2}=2$，解得b=1．
又椭圆O：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）过点（$\sqrt{3}$，-$\frac{1}{2}$），∴$\frac{3}{{a}^{2}}+\frac{1}{4}$=1，解得a²=4．
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
点A在椭圆上，∴$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}+{y}_{0}^{2}$=1．
设经过点A的直线方程为：y-y₀=k（x-x₀），
可得M$（{x}_{0}-\frac{{y}_{0}}{k}，0）$，N（0，y₀-kx₀）．
∵$\overrightarrow{AN}$=2$\overrightarrow{MA}$，∴-x₀=$\frac{2{y}_{0}}{k}$，即k=-$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}}$．
∴|MN|=$\sqrt{（{x}_{0}-\frac{{y}_{0}}{k}）^{2}+（{y}_{0}-k{x}_{0}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{9}{4}{x}_{0}^{2}+9{y}_{0}^{2}}$=3为定值．
（2）解：设∠AOD=α．∵$\overrightarrow{BD}$=λ$\overrightarrow{NM}$，∴2|OD|=3λ．
由题意可得：S_{四边形ABCD}=$4×\frac{1}{2}|OA|•|OD|sinα$=2×$\frac{3λ}{2}$|OA|•sinα≤3λ|OA|．

点评 本题考查题意的标准方程及其性质、向量共线定理及其坐标运算性质、点到直线的距离公式、三角形面积就算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．