Question

3．如图，在直角梯形AA₁B₁B中，∠A₁AB=90°，A₁B₁∥AB，AB=AA₁=2A₁B₁=2，直角梯形AA₁C₁C通过直角梯形AA₁B₁B以直线AA₁为轴旋转得到，且使得平面AA₁C₁C⊥平面AA₁B₁B．点M为线段BC的中点，点P是线段BB₁中点．
（Ⅰ）求证：A₁C₁⊥AP；
（Ⅱ）求二面角P-AM-B的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出AC⊥AB，AC⊥AA₁，从而AC⊥平面AA₁B₁B，由A₁C₁∥AC，知A₁C₁⊥平面AA₁B₁B，由此能证明A₁C₁⊥AP．
（Ⅱ）以AC，AB，AA₁为x，y，z轴，建立空间直角系，利用向量法能求出二面角P-AM-B的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）∵在直角梯形AA₁B₁B中，∠A₁AB=90°，A₁B₁∥AB，AB=AA₁=2A₁B₁=2，
直角梯形AA₁C₁C通过直角梯形AA₁B₁B以直线AA₁为轴旋转得到，
∴∠A₁AB=∠A₁AC=90°，且平面AA₁C₁C⊥平面AA₁B₁B，
∴∠BAC=90°，即AC⊥AB，
又∵AC⊥AA₁，且AB∩AA₁=A，
∴AC⊥平面AA₁B₁B，
由已知A₁C₁∥AC，∴A₁C₁⊥平面AA₁B₁B，
∵AP?平面AA₁B₁B，∴A₁C₁⊥AP．
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知AC，AB，AA₁两两垂直，
分别以AC，AB，AA₁为x，y，z轴，建立空间直角系，
由已知得AB=AC=AA₁=2A₁B₁=2A₁C₁=2，
∴A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，0，0），B₁（0，1，2），A₁（0，0，2），
∵M为线段BC的中点，P为线段BB₁的中点，
∴M（1，1，0），P（0，$\frac{3}{2}$，1），
平面ABM的一个法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
设平面APM的一个法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AM}=x+y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}=\frac{3}{2}y+z=0}\end{array}\right.$，取x=2，得$\overrightarrow{n}$=（2，-2，3），
由图知二面角P-AM-B的大小为锐角，
设二面角P-AM-B的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3}{\sqrt{17}}$=$\frac{3\sqrt{17}}{17}$，
∴二面角P-AM-B的余弦值为$\frac{3\sqrt{17}}{17}$．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．