Question

20．已知函数$f（x）={e^x}-\frac{1}{2}a{x^2}$（x＞0，e为自然对数的底数），f'（x）是f（x）的导函数．
（Ⅰ）当a=2时，求证f（x）＞1；
（Ⅱ）是否存在正整数a，使得f'（x）≥x²lnx对一切x＞0恒成立？若存在，求出a的最大值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，根据函数的单调性；
（Ⅱ）求出函数的导数，得到a≤e，问题转化为证明当a=2时，不等式恒成立，设$g（x）=\frac{e^x}{x^2}-\frac{2}{x}-lnx$，根据函数的单调性证明即可．

解答 解：（Ⅰ）证明：当a=2时，f（x）=e^x-x²，则f'（x）=e^x-2x，
令${f_1}（x）=f'（x）={e^x}-2x$，则${f'_1}（x）={e^x}-2$，
令f'₁（x）=0，得x=ln2，故f'（x）在x=ln2时取得最小值，
∵f'（ln2）=2-2ln2＞0，∴f（x）在（0，+∞）上为增函数，
∴f（x）＞f（0）=1；
（Ⅱ）f'（x）=e^x-ax，
由f'（x）≥x²lnx，得e^x-ax≥x²lnx对一切x＞0恒成立，
当x=1时，可得a≤e，所以若存在，则正整数a的值只能取1，2．
下面证明当a=2时，不等式恒成立，
设$g（x）=\frac{e^x}{x^2}-\frac{2}{x}-lnx$，则$g'（x）=\frac{{（{x-2}）{e^x}}}{x^3}+\frac{2}{x^2}-\frac{1}{x}=\frac{{（{x-2}）（{{e^x}-x}）}}{x^3}$，
由（Ⅰ）e^x＞x²+1≥2x＞x，∴e^x-x＞0（x＞0），
∴当0＜x＜2时，g'（x）＜0；当x＞2时，g'（x）＞0，
即g（x）在（0，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数，
∴$g（x）≥g（2）=\frac{1}{4}（{{e^2}-4-4ln2}）＞\frac{1}{4}（{{{2.7}^2}-4-4ln2}）＞\frac{1}{4}（{3-ln16}）＞0$，
∴当a=2时，不等式恒成立，
所以a的最大值是2．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．