Question

8．已知函数f（x）=$\frac{{a}^{x}-1}{{a}^{x}+1}$（a＞0，a≠1）．
（1）求f（x）的定义域，值域；
（2）讨论函数f（x）的单调性，并加以证明．

Answer 1

分析 （1）定义域易得，利用反解自变量的方法求值域即可．
（2）先把函数分离常数，在分底数和1的大小两种情况再结合复合函数的单调性来判断即可．

解答 解：（1）易得f（x）的定义域为{x|x∈R}．
设y=$\frac{{a}^{x}-1}{{a}^{x}+1}$，解得a^x=-$\frac{y+1}{y-1}$①
∵a^x＞0当且仅当-$\frac{y+1}{y-1}$＞0时，方程①有解．解-$\frac{y+1}{y-1}$＞0得-1＜y＜1．
∴f（x）的值域为{y|-1＜y＜1}．
（2）f（x）=1-$\frac{2}{{a}^{x}+1}$，
1°当a＞1时，∵a^x+1为增函数，且a^x+1＞0，
∴$\frac{2}{{a}^{x}+1}$为减函数，从而f（x）为增函数，
2°当0＜a＜1时，类似地可得f（x）为减函数；
证明如下：
设x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=1-$\frac{2}{{a}^{{x}_{1}}+1}$-1+$\frac{2}{{a}^{{x}_{2}}+1}$=$\frac{2{（a}^{{x}_{1}}{-a}^{{x}_{2}}）}{{（a}^{{x}_{1}}+1）{（a}^{{x}_{2}}+1）}$，
0＜a＜1时，由x₁＜x₂，得：${a}^{{x}_{1}}$＞${x}^{{x}_{2}}$，
故f（x₁）＞f（x₂），f（x）是减函数，
a＞1时，由x₁＜x₂，得：${a}^{{x}_{1}}$＜${x}^{{x}_{2}}$，
故f（x₁）＜f（x₂），f（x）是增函数．

点评 本题是对函数定义域和值域以及单调性的综合考查．在利用复合函数的单调性时，其原则是；单调性相同为增，单调性相反为减，且乘正数单调性不变，乘负数单调性相反．