Question

13．某校某次N名学生的学科能力测评成绩（满分120分）的频率分布直方图如下，已知分数在100-110的学生数有21人（1）求总人数N和分数在110-115分的人数n．；
（2）现准备从分数在110-115的n名学生（女生占$\frac{1}{3}$）中选3位分配给A老师进行指导，设随机变量ξ表示选出的3位学生中女生的人数，求ξ的分布列与数学期望Eξ；
（3）为了分析某个学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导建议，对他前7次考试的数学成绩x、物理成绩y进行分析，该生7次考试成绩如表

数学（x）	88	83	117	92	108	100	112
物理（y）	94	91	108	96	104	101	106

已知该生的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的，求出y关于x的线性回归方程 $\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$．若该生的数学成绩达到130分，请你估计他的物理成绩大约是多少？
附：对于一组数据（x₁，y₁），（x₂，y₂），…，（x_n，y_n），其回归方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$的斜率和截距的最小二乘估计分别为$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i-}\overline{x}）^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}=\overline{y}-\stackrel{∧}{b}\overline{x}$．

Answer 1

分析 （1）根据题意，计算分数在100-110内的频率，求出该班总人数，再计算分数在110-115内的频率，计算对应的人数；
（2）求出分数6名学生中女生有2名，得出6名学生中选出3人，女生人数ξ的可能取值，再计算对应的概率值，写出ξ的分布列，计算数学期望值；
（3）计算$\overline{x}$、$\overline{y}$，求出回归系数$\stackrel{∧}{b}$、写出对应线性回归方程，根据方程计算x=130时$\stackrel{∧}{y}$的值即可．

解答 解：（1）分数在100-110内的学生的频率为P₁=（0.04+0.03）×5=0.35，
所以该班总人数为N=$\frac{21}{0.35}$=60，
分数在110-115内的学生的频率为
P₂=1-（0.01+0.04+0.05+0.04+0.03+0.01）×5=0.1，
分数在110-115内的人数为n=60×0.1=6；
（2）由题意分数在110-115内有6名学生，其中女生有2名，
从6名学生中选出3人，女生人数ξ的可能取值为0，1，2；
则P（ξ=0）=$\frac{{C}_{4}^{3}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{5}$，P（ξ=1）=$\frac{{C}_{2}^{1}{•C}_{4}^{2}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{3}{5}$，P（ξ=2）=$\frac{{C}_{2}^{2}{•C}_{4}^{1}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{5}$；
所以ξ的分布列为：

ξ	0	1	2
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{5}$

ξ的数学期望为Eξ=0×$\frac{1}{5}$+1×$\frac{3}{5}$+2×$\frac{1}{5}$=1；
（3）计算$\overline{x}$=$\frac{1}{7}$×（88+83+117+92+108+100+112）=100，
$\overline{y}$=$\frac{1}{7}$×（94+91+108+96+104+101+106）=100；
由于x与y之间具有线性相关关系，
根据回归系数公式得到$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i-}\overline{x}）^{2}}$=$\frac{497}{994}$=0.5，
$\stackrel{∧}{a}=\overline{y}-\stackrel{∧}{b}\overline{x}$=100-0.5×100=50，
∴线性回归方程为$\stackrel{∧}{y}$=0.5x+50，
∴当x=130时，$\stackrel{∧}{y}$=0.5×130+50=115．

点评 本题考查了频率分布直方图与线性回归方程以及分布列和数学期望的计算问题，是综合性题目．