Question

2．设函数f'（x）是函数f（x）（x∈R）的导函数，f（0）=1，且$f（x）=\frac{1}{3}f'（x）-1$，则4f（x）＞f'（x）的解集为（　　）

• A． $（\frac{ln4}{3}，+∞）$
• B． $（\frac{ln2}{3}，+∞）$
• C． $（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，+∞）$
• D． $（\frac{{\sqrt{e}}}{3}，+∞）$

Answer 1

分析 把已知等式变形，可得3f（x）=f′（x）-3，则f′（x）=3f（x）+3，令f（x）=ae^bx+c，由f（0）=1，得a+c=1，再由3f（x）=f′（x）-3，得到3ae^bx+3c=abe^bx-3，则$\left\{\begin{array}{l}{3a-ab=0}\\{-3-3c=0}\end{array}\right.$，求得a，b，c的值，可得函数解析式，把4f（x）＞f'（x）转化为关于x的不等式求解．

解答 解：由$f（x）=\frac{1}{3}f'（x）-1$，得3f（x）=f′（x）-3，
∴f′（x）=3f（x）+3，
令f（x）=ae^bx+c，
∵f（0）=1，∴a+c=1，
∵3f（x）=f′（x）-3，
∴3ae^bx+3c=abe^bx-3，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3a-ab=0}\\{-3-3c=0}\end{array}\right.$，解得a=2，b=3，c=-1．
∴f（x）=2e^3x-1，
∵4f（x）＞f'（x），
∴8e^3x-4＞6e^3x，
则e^3x＞2，即x＞$\frac{ln2}{3}$．
∴4f（x）＞f'（x）的解集为$（\frac{ln2}{3}，+∞）$．
故选：B．

点评 本题考查导数的运算及应用，考查了推理能力与计算能力，是压轴题．