Question

17．已知点M（2$\sqrt{2}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）在椭圆G：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上，且点M到两焦点距离之和为4$\sqrt{3}$．
（1）求椭圆G的方程；
（2）若斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底作等腰三角形，顶点为P（-3，2），求△PAB的面积．

Answer 1

分析 （1）由2a=4$\sqrt{3}$，可得a=2$\sqrt{3}$．又点M（2$\sqrt{2}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）在椭圆G上，可得$\frac{2}{3}+\frac{4}{3{b}^{2}}$=1，解得b²，即可得出．
（2）设直线l的方程为y=x+m，与椭圆方程联立得4x²+6mx+3m²-12=0．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂），AB的中点为E（x₀，y₀），利用中档坐标公式可得E坐标．因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB．解得m．利用两点之间的距离公式可得|AB|．点P（-3，2）到直线AB：x-y+2=0的距离d，可得△PAB的面积S=$\frac{1}{2}$|AB|•d．

解答 解：（1）∵2a=4$\sqrt{3}$，∴a=2$\sqrt{3}$．
又点M（2$\sqrt{2}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）在椭圆G上，∴$\frac{2}{3}+\frac{4}{3{b}^{2}}$=1，解得b²=4，…（4分）
∴椭圆G的方程为：$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．…（5分）
（2）设直线l的方程为y=x+m，由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，得4x²+6mx+3m²-12=0．①
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂），AB的中点为E（x₀，y₀），
则x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{3m}{4}$，y₀=x₀+m=$\frac{m}{4}$．
因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB．
所以PE的斜率k=$\frac{2-\frac{m}{4}}{-3+\frac{3m}{4}}$=-1，解得m=2．…（10分）
此时方程①为4x²+12x=0，解得x₁=-3，x₂=0，
所以y₁=-1，y₂=2．
所以|AB|=3$\sqrt{2}$．
此时，点P（-3，2）到直线AB：x-y+2=0的距离d=$\frac{|-3-2+2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
所以△PAB的面积S=$\frac{1}{2}$|AB|•d=$\frac{9}{2}$．…（12分）

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、等腰三角形的性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、点到直线的距离公式、两点之间的距离公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．