Question

8．已知函数f（x）=|x+m|+|2x-1|（m∈R）
（I）当m=-1时，求不等式f（x）≤2的解集；
（II）设关于x的不等式f（x）≤|2x+1|的解集为A，且[$\frac{3}{4}$，2]⊆A，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）问题转化为|x-1|+|2x-1|≤2，通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；
（Ⅱ）问题转化为|x+m|+|2x-1|≤|2x+1|在x∈[$\frac{3}{4}$，2]上恒成立，根据（-x-2）_max≤m≤（-x+2）_min，求出m的范围即可．

解答 解：（ I）当m=-1时，f（x）=|x-1|+|2x-1|，
f（x）≤2⇒|x-1|+|2x-1|≤2，
上述不等式可化为：
$\left\{\begin{array}{l}{x≤\frac{1}{2}}\\{1-x+1-2x≤2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}＜x＜1}\\{1-x+2x-1≤2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{x-1+2x-1≤2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x≤\frac{1}{2}}\\{x≥0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}＜x＜1}\\{x≤2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{x≤\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
∴0≤x≤$\frac{1}{2}$或$\frac{1}{2}$＜x＜1或1≤x≤$\frac{4}{3}$，
∴原不等式的解集为{x|0≤x≤$\frac{4}{3}$}．
（ II）∵f（x）≤|2x+1|的解集包含[$\frac{3}{4}$，2]，
∴当x∈[$\frac{3}{4}$，2]时，不等式f（x）≤|2x+1|恒成立，
即|x+m|+|2x-1|≤|2x+1|在x∈[$\frac{3}{4}$，2]上恒成立，
∴|x+m|+2x-1≤2x+1，
即|x+m|≤2，∴-2≤x+m≤2，
∴-x-2≤m≤-x+2在x∈[$\frac{3}{4}$，2]上恒成立，
∴（-x-2）_max≤m≤（-x+2）_min，
∴-$\frac{11}{4}$≤m≤0，
所以实数m的取值范围是[-$\frac{11}{4}$，0]．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值的性质以及分类讨论思想，是一道中档题．