Question

20．设当x=α时，函数f（x）=3sinx+cosx取得最大值，则tan2α=$-\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 利用辅助角公式化简求解f（x）取得最大值的α的关系式．利用二倍角的正切公式即可求解tan2α的值．

解答 解：函数f（x）=3sinx+cosx=$\sqrt{10}$sin（x+φ），tanφ=$\frac{1}{3}$，∴cotφ=3，
当x=α时，函数f（x）取得最大值，即α+φ=$\frac{π}{2}+2kπ$，
可得：α=2kπ+（$\frac{π}{2}$-φ），
那么：tanα=tan（2kπ+$\frac{π}{2}-$φ）=tan（$\frac{π}{2}$-φ）=cotφ=3，
则tan2α=$\frac{2tanα}{1-ta{n}^{2}α}=\frac{2×3}{1-9}=-\frac{3}{4}$．
故答案为：$-\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了三角函数的性质和辅助角的灵活运用能力．属于中档题．