Question

3．如图，在△ABC中，M是边BC的中点，tan∠BAM=$\frac{\sqrt{3}}{5}$，cos∠AMC=-$\frac{2\sqrt{7}}{7}$
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若角∠BAC=$\frac{π}{6}$，BC边上的中线AM的长为$\sqrt{7}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由邻补角定义及诱导公式得到cos∠AMC=-cos∠AMB，求出cos∠AMB的值，利用同角三角函数间的基本关系求出tan∠AMB的值，再利用诱导公式求出tanB的值，即可确定出B的大小；
（Ⅱ）由三角形内角和定理及等角对等边得到AB=BC，设BM=x，则AB=BC=2x，利用余弦定理列出方程，求出方程的解得到x的值，确定出AB与BC的值，再利用三角形面积公式求出三角形ABC面积即可．

解答 解：（Ⅰ）由题意可知∠AMB+∠AMC=π，
又cos∠AMC=-$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，
∴cos∠AMB=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，sin∠AMB=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，tan∠AMB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴tanB=-tan（∠BAM+∠BMA）=-$\frac{tan∠BAM+tan∠BMA}{1-tan∠BAM•tan∠BMA}$=-$\frac{\frac{\sqrt{3}}{5}+\frac{\sqrt{3}}{2}}{1-\frac{\sqrt{3}}{5}×\frac{\sqrt{3}}{2}}$=-$\sqrt{3}$，
又B∈（0，π），
∴B=$\frac{2π}{3}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知∠B=$\frac{2π}{3}$，且∠BAC=$\frac{π}{6}$，
∴∠C=$\frac{π}{6}$，即∠BAC=∠C，
∴AB=BC，
设BM=x，则AB=2x，
在△AMB中，由余弦定理得AM²=AB²+BM²-2AB•BM•cosB，即7=4x²+x²+2x²，
解得：x=1（负值舍去），
∴AB=BC=2，
则S_△ABC=$\frac{1}{2}$•4•sin$\frac{2π}{3}$=$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了余弦定理，三角形面积公式，诱导公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．