Question

19．“中国齐云山国际养生万人徒步大会”得到了国内外户外运动爱好者的广泛关注，为了使基础设施更加完善，现需对部分区域进行改造．如图，在道路 北侧准备修建一段新步道，新步道开始部分的曲线段MAB是函数y=2sin（ωx+ϕ），（ω＞0，0＜ϕ＜π），x∈[-4，0]的图象，且图象的最高点为A（-1，2）．中间部分是长为1千米的直线段BC，且BC∥MN．新步道的最后一部分是以原点O为圆心的一段圆弧CN．
（1）试确定ω，ϕ的值
（2）若计划在扇形OCN区域内划出面积尽可能大的矩形区域建服务站，并要求矩形一边EF紧靠道路MN，顶点Q罗总半径OC上，另一顶点P落在圆弧CN上．记∠PON=θ，请问矩形EFPQ面积最大时θ应取何值，并求出最大面积？

Answer 1

分析 （1）利用正确确定ω，图象过A（-1，2），确定ϕ的值；
（2）求出PF，EF，可得面积，利用三角函数求出最大面积．

解答 解：（1）∵$\frac{T}{4}=-1-（{-4}）=3$，∴$T=\frac{2π}{ω}=12$，∴$ω=\frac{π}{6}$．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉（2分）
图象过A（-1，2），∴$-\frac{π}{6}+ϕ=\frac{π}{2}+2kπ，k∈Z$，
又$0＜ϕ＜π∴ϕ=\frac{2π}{3}$．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉（4分）
（2）由（1）知$y=2sin（{\frac{π}{6}x+\frac{2π}{3}}）$，交y轴于$B（{0，\sqrt{3}}）$，
又BC=1，BC∥MN，∴$OC=2，∠CON=∠BCO=\frac{π}{3}$．
又∠PON=θ，∴P（2cosθ，2sinθ），$PF=2sinθ，EF=2cosθ-\frac{2sinθ}{{tan{{60}°}}}=2cosθ-\frac{2}{{\sqrt{3}}}sinθ$┉┉┉┉（7分）
∴${S_{EFPQ}}=PF•EF=2sinθ（{2cosθ-\frac{2}{{\sqrt{3}}}sinθ}）$=$2sin2θ-\frac{4}{{\sqrt{3}}}{sin^2}θ=2sin2θ-\frac{2}{{\sqrt{3}}}（{1-cos2θ}）$
=$2sin2θ+\frac{2}{{\sqrt{3}}}cos2θ-\frac{{2\sqrt{3}}}{{\sqrt{3}}}=\frac{{4\sqrt{3}}}{{\sqrt{3}}}（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2θ+\frac{1}{2}cos2θ}）-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$=$\frac{{4\sqrt{3}}}{{\sqrt{3}}}sin（{2θ+\frac{π}{6}}）-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$┉┉┉┉┉（10分）
又$θ∈（{0，\frac{π}{3}}）$，∴$θ=\frac{π}{6}$时$sin（{2θ+\frac{π}{6}}）=1$，此时矩形EFPQ面积最大为$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}k{m^2}$．┉┉（12分）

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，三角恒等变换、正弦函数的定义域和值域，属于中档题．