Question

（2012•北京）设A是由m×n个实数组成的m行n列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零，记s（m，n）为所有这样的数表构成的集合．对于A∈S（m，n），记r_i（A）为A的第ⅰ行各数之和（1≤ⅰ≤m），C_j（A）为A的第j列各数之和（1≤j≤n）；记K（A）为|r₁（A）|，|R₂（A）|，…，|Rm（A）|，|C₁（A）|，|C₂（A）|，…，|Cn（A）|中的最小值．
（1）如表A，求K（A）的值；

1	1	-0.8
0.1	-0.3	-1

（2）设数表A∈S（2，3）形如

1	1	c
a	b	-1

求K（A）的最大值；
（3）给定正整数t，对于所有的A∈S（2，2t+1），求K（A）的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据r_i（A），C_j（A），定义求出r₁（A），r₂（A），c₁（A），c₂（A），c₃（A），再根据K（A）为|r₁（A）|，|R₂（A）|，|R₃（A）|，|C₁（A）|，|C₂（A）|，|C₃（A）|中的最小值，即可求出所求．
（2）先用反证法证明k（A）≤1，然后证明k（A）=1存在即可；
（3）首先构造满足k(A)=

2t+1

t+2

的A={a_i，j}（i=1，2，j=1，2，…，2t+1），然后证明

2t+1

t+2

是最大值即可．

解答：解：（1）由题意可知r₁（A）=1.2，r₂（A）=-1.2，c₁（A）=1.1，c₂（A）=0.7，c₃（A）=-1.8
∴K（A）=0.7
（2）先用反证法证明k（A）≤1：
若k（A）＞1
则|c₁（A）|=|a+1|=a+1＞1，∴a＞0
同理可知b＞0，∴a+b＞0
由题目所有数和为0
即a+b+c=-1
∴c=-1-a-b＜-1
与题目条件矛盾
∴k（A）≤1．
易知当a=b=0时，k（A）=1存在
∴k（A）的最大值为1
（3）k（A）的最大值为

2t+1

t+2

．
首先构造满足k(A)=

2t+1

t+2

的A={a_i，j}（i=1，2，j=1，2，…，2t+1）：a1，1=a1，2=…=a1，t=1，a1，t+1=a1，t+2=…=a1，2t+1=-

t-1

t+2

，a2，1=a2，2=…=a2，t=

t2+t+1

t(t+2)

，a2，t+1=a2，t+2=…=a2，2t+1=-1．
经计算知，A中每个元素的绝对值都小于1，所有元素之和为0，且|r1(A)|=|r2(A)|=

2t+1

t+2

，|c1(A)|=|c2(A)|=…=|ct(A)|=1+

t2+t+1

t(t+2)

＞1+

t+1

t+2

＞

2t+1

t+2

，|ct+1(A)|=|ct+2(A)|=…=|c2t+1(A)|=1+

t-1

t+2

=

2t+1

t+2

．
下面证明

2t+1

t+2

是最大值．若不然，则存在一个数表A∈S（2，2t+1），使得k(A)=x＞

2t+1

t+2

．
由k（A）的定义知A的每一列两个数之和的绝对值都不小于x，而两个绝对值不超过1的数的和，其绝对值不超过2，故A的每一列两个数之和的绝对值都在区间[x，2]中．由于x＞1，故A的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于x-1．
设A中有g列的列和为正，有h列的列和为负，由对称性不妨设g＜h，则g≤t，h≥t+1．另外，由对称性不妨设A的第一行行和为正，第二行行和为负．
考虑A的第一行，由前面结论知A的第一行有不超过t个正数和不少于t+1个负数，每个正数的绝对值不超过1（即每个正数均不超过1），每个负数的绝对值不小于x-1（即每个负数均不超过1-x）．因此|r₁（A）|=r₁（A）≤t•1+（t+1）（1-x）=2t+1-（t+1）x=x+（2t+1-（t+2）x）＜x，
故A的第一行行和的绝对值小于x，与假设矛盾．因此k（A）的最大值为

2t+1

t+2

．

点评：本题主要考查了进行简单的演绎推理，以及新定义的理解和反证法的应用，同时考查了分析问题的能力，属于难题．