Question

已知函数f（x）=（1+cotx）sin²x-2sin（x+）sin（x-）．
（1）若tanα=2，求f（α）；
（2）若x∈[，]，求f（x）的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用正切化为正弦、余弦，利用两角和与差的三角函数展开，二倍角公式的应用化为，通过tanα=2，求出sin2α，cos2α，然后求出f（α）；
（2）化简函数为：，由x∈[，]，求出2x+的范围，然后求f（x）的取值范围．
解答：解：（1）∵f（x）=（1+cotx）sin²x-2sin（x+）sin（x-）=sin²x+sinxcosx+cos2x
=+=
∵tanα=2，∴sin2α=2sinαcosα===，
cos2α==

=
由tanα=2得，
，
所以．
（2）由（1）得
由得，所以
从而．
点评：三角函数的化简，包括降幂扩角公式、辅助角公式都是高考考查的重点内容，另外对于三角函数的化简到最简形式一定要求掌握．熟练利用正余弦函数的图象求形如y=Asin（ωx+φ）性质．