Question

7．求下列函数的单调区间
①y=sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$）
②y=sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$）x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]
③y=sin（-$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$）
④y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$）

Answer 1

分析 对于①y=sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$），利用正弦函数的单调性求得它的单调区间．
对于②y=sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$）x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，先利用正弦函数的单调性求得它的单调区间，再结合x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，进一步确定它的单调区间．
对于③y=sin（-$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$）=-sin（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{6}$），求得t=sin（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{6}$）的增区间，即为函数y的减区间；求得t=sin（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{6}$）的减区间，即为函数y的增区间，
对于④y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$），函数y的增区间即函数t=sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$） 在满足t＞0时的减区间；函数y的减区间即函数t=sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$） 在满足t＞0时的增区间，再结合正弦函数的图象得出结论．

解答 解：①对于函数y=sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$），令2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得4kπ-$\frac{5π}{3}$≤x≤4kπ+$\frac{π}{3}$，故函数的增区间为[4kπ-$\frac{5π}{3}$，4kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z；
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得4kπ+$\frac{π}{3}$≤x≤4kπ+$\frac{7π}{3}$，故函数的减区间为[4kπ+$\frac{π}{3}$，4kπ+$\frac{7π}{3}$]，k∈Z．
②对于函数y=sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$），令2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得4kπ-$\frac{5π}{3}$≤x≤4kπ+$\frac{π}{3}$，故函数的增区间为[4kπ-$\frac{5π}{3}$，4kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z，
再结合x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，可得增区间为∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{3}$]．
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得4kπ+$\frac{π}{3}$≤x≤4kπ+$\frac{7π}{3}$，故函数的减区间为[4kπ+$\frac{π}{3}$，4kπ+$\frac{7π}{3}$]，k∈Z．
再结合x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，可得减区间为∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]．
③对于函数y=sin（-$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$）=-sin（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{6}$），令2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得4kπ-$\frac{2π}{3}$≤x≤4kπ+$\frac{4π}{3}$，故函数的减区间为[4kπ-$\frac{2π}{3}$，4kπ+$\frac{4π}{3}$]，k∈Z；
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得4kπ+$\frac{4π}{3}$≤x≤4kπ+$\frac{10π}{3}$，故函数的增区间为[4kπ+$\frac{4π}{3}$，4kπ+$\frac{10π}{3}$]，k∈Z．
④对于函数y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$），由题意可得，函数y的增区间即函数t=sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$） 在满足t＞0时的减区间，
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$＜2kπ+π，k∈Z，求得4kπ+$\frac{π}{3}$≤x＜4kπ+$\frac{4π}{3}$，故函数y的增区间为[4kπ+$\frac{π}{3}$，4kπ+$\frac{4π}{3}$），k∈Z．
函数y的减区间即函数t=sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$） 在满足t＞0时的增区间，
令2kπ＜$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，求得4kπ-$\frac{2π}{3}$＜x≤4kπ+$\frac{π}{3}$，故函数y的增区间为（4kπ-$\frac{2π}{3}$．4kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z．

点评 本题主要考查正弦函数的单调性的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．