Question

15．已知椭圆方程x²+2y²=a²（a＞0）的左焦点F₁到直线y=x-2的距离为$2\sqrt{2}$，求椭圆的标准方程．

Answer 1

分析 把椭圆：x²+2y²=a（a＞0）转化为标准方程，由已知条件利用点到直线距离公式列式求得a，由此能求出椭圆的标准方程．

解答 解：椭圆：x²+2y²=a，（a＞0）转化为标准方程，得：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{\frac{{a}^{2}}{2}}=1$，
∴c²=${a}^{2}-\frac{{a}^{2}}{2}=\frac{{a}^{2}}{2}$，
c=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，
左焦点坐标（-$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，0），
由点到直线距离公式得：$\frac{|-\frac{\sqrt{2}}{2}a-2|}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$，
解得：a=$2\sqrt{2}$．
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．

点评 本题考查椭圆的标准方程的求法，解题时注意椭圆性质的合理运用，是中档题．