Question

3．已知一颗小米粒等可能地落入如图所示的平面四边形 ABCD（AD=$\frac{3}{2}$CD）内的任意一个位置，如果通过大量的试验发现米粒落入△BCD内的频率稳定在$\frac{2}{5}$附近，记点 B到直线 AD的距离与点 B到直线CD的距离的比值为λ，则函数f（x）=cos2x+2λsinx的最大值与最小值之和为（　　）

• A． $-\frac{3}{2}$
• B． $-\sqrt{2}$
• C． $\frac{3}{2}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由题意结合几何概型列式求出λ=1，代入f（x）=cos2x+2λsinx，化余弦为正弦，换元后利用配方法求函数的最值，则答案可求．

解答 解：由题意可知，S_△BCD：S_△ABD=2：3，
设B到直线AD的距离为h₁，B到直线CD的距离为h₂，
则h₁=λh₂，又AD=$\frac{3}{2}$CD，代入$\frac{{S}_{△BCD}}{{S}_{△ABD}}=\frac{2}{3}$，得：$\frac{\frac{1}{2}•CD•{h}_{2}}{\frac{1}{2}AD•{h}_{1}}=\frac{\frac{1}{2}•CD•{h}_{2}}{\frac{1}{2}×\frac{3}{2}CD•λ{h}_{2}}=\frac{2}{3λ}=\frac{2}{3}$
∴λ=1．
则f（x）=cos2x+2λsinx=cos2x+2sinx=-2sin²x+2sinx+1．
令sinx=t（-1≤t≤1），
∴y=f（x）=-2t²+2t+1=$-2（{t}^{2}-t）+1=-2（t-\frac{1}{2}）^{2}$$+\frac{3}{2}$．
∴y_min=-3，${y}_{max}=\frac{3}{2}$．
则函数f（x）=cos2x+2λsinx的最大值与最小值之和为$-3+\frac{3}{2}=-\frac{3}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查几何概型，考查了三角函数最值的求法，训练了换元法和配方法，是中档题．