Question

5．已知$\frac{{2{{sin}^2}θ+sin2θ}}{1+tanθ}=k，0＜θ＜\frac{π}{4}$，则$sin（θ-\frac{π}{4}）$的值（　　）

• A． 随着k的增大而增大
• B． 有时随着k的增大而增大，有时随着k的增大而减小
• C． 随着k的增大而减小
• D． 是一个与k无关的常数

Answer 1

分析 由条件利用三角恒等变化可得函数k=sin2θ在（0，$\frac{π}{4}$）上为增函数，再利用正弦函数的单调性可得$sin（θ-\frac{π}{4}）$的值随着k的增大而增大，从而得出结论．

解答 解：∵$\frac{{2sin}^{2}θ+sin2θ}{1+tanθ}$=$\frac{2sinθ（sinθ+cosθ）}{1+tanθ}$=sin2θ=k  θ∈（0，$\frac{π}{4}$），
故函数k=sin2θ在（0，$\frac{π}{4}$）上为增函数，
则$sin（θ-\frac{π}{4}）$的值随着k的增大而增大，
故选：A．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，属于中档题．