Question

已知三点P（5，2）、F₁（－6，0）、F₂（6，0）。
（1）求以F₁、F₂为焦点且过点P的椭圆的标准方程；
（2）设点P、F₁、F₂关于直线y＝x的对称点分别为，求以为焦点且过点的双曲线的标准方程。

Answer 1

（1）；（2）.

试题分析：（1）根据椭圆的定义，，又，利用，可求出，从而得出椭圆的标准方程，本题要充分利用椭圆的定义.（2）由于F₁、F₂关于直线的对称点在轴上，且关于原点对称，故所求双曲线方程为标准方程，同样利用双曲线的定义有，又，要注意的是双曲线中有，故也能很快求出结论.
试题解析：（1）由题意，可设所求椭圆的标准方程为，其半焦距,
故所求椭圆的标准方程为；
（2）点P（5，2）、（－6，0）、（6，0）关于直线y＝x的对称点分别为：，，，设所求双曲线的标准方程为，由题意知半焦距=6，
  ∴，
故所求双曲线的标准方程为。