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(2013•长春一模)椭圆
 x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的离心率为
3
2
,右焦点到直线x+y+
6
=0
的距离为2
3
,过M(0,-1)的直线l交椭圆于A,B两点.
(Ⅰ) 求椭圆的方程;
(Ⅱ) 若直线l交x轴于N,
NA
=-
7
5
NB
,求直线l的方程.
分析:(Ⅰ)根据右焦点到直线x+y+
6
=0
的距离为2
3
,可得
|c+
6
|
2
=2
3
,利用椭圆
 x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的离心率为
3
2
,可得
c
a
=
3
2
,从而可得a=2
2
b=
a2-c2
=
2
,故可求椭圆的方程;
(Ⅱ)设A (x1,y1),B(x2,y2),N(x0,0),利用
NA
=-
7
5
NB
,可得(x1-x0y1)=-
7
5
(
x2-x0,y2),设直线l的方程为y=kx-1(k≠0).与椭圆方程联立
y=kx-1
x2
8
+
y2
2
=1
,消去x可得(4k2+1)y2+2y+1-8k2=0,由此即可求得直线l的方程.
解答:解:(Ⅰ)设右焦点为(c,0)(c>0)
∵右焦点到直线x+y+
6
=0
的距离为2
3

|c+
6
|
2
=2
3

c=
6

∵椭圆
 x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的离心率为
3
2

c
a
=
3
2

a=2
2

b=
a2-c2
=
2

∴椭圆的方程为
x2
8
+
y2
2
=1

(Ⅱ)设A (x1,y1),B(x2,y2),N(x0,0)
NA
=-
7
5
NB

(x1-x0y1)=-
7
5
(
x2-x0,y2
y1=-
7
5
y2

易知直线斜率不存在时或斜率为0时①不成立
于是设直线l的方程为y=kx-1(k≠0).
与椭圆方程联立
y=kx-1
x2
8
+
y2
2
=1
,消去x可得(4k2+1)y2+2y+1-8k2=0②
y1+y2=-
2
4k2+1
y1y2=
1-8k2
4k2+1

由①③可得y2=
5
4k2+1
y1=-
7
4k2+1
代入④整理可得:8k4+k2-9=0
∴k2=1
此时②为5y2+2y-7=0,判别式大于0
∴直线l的方程为y=±x-1
点评:本题重点考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,解题的关键是联立方程,利用韦达定理进行解题.
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