Question

3．如图，椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，椭圆C的右焦点到右准线的距离为$\frac{\sqrt{2}}{4}$，椭圆C的下顶点为D．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过D点作两条互相垂直的直线分别与椭圆C相交于点P、M．求证：直线PM经过一定点．

Answer 1

分析 （1）由题意可得c²=$\frac{8}{9}$a²，又$\frac{{a}^{2}}{c}$-c=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，且a²=b²+c²，解得b=1，则a=3，即可得解椭圆C的方程；
（2）设直线PD的斜率为k，由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-1}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$得P（$\frac{18k}{9{k}^{2}+1}$，$\frac{9{k}^{2}-1}{9{k}^{2}+1}$），M（$\frac{-18k}{{k}^{2}+9}$，$\frac{9-{k}^{2}}{{k}^{2}+9}$），作直线l关于y轴的对称直线l′，可知定点在y轴上，当k=1时，P（$\frac{9}{5}$，$\frac{4}{5}$），M（-$\frac{9}{5}$，$\frac{4}{5}$），可求此时直线PM经过y轴上的点T（0，$\frac{4}{5}$），证明k_PT=k_MT，即可得解P，M，T三点共线，即直线PM经过点T．

解答 解：（1）依题意知 e=$\frac{c}{a}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，则c²=$\frac{8}{9}$a²，…（2分）
又$\frac{{a}^{2}}{c}$-c=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，且a²=b²+c²，
∴b=1，则a=3，
∴方程为$\frac{{x}^{2}}{9}$+y²=1．…（5分）
（2）由题意知直线PD，MD的斜率存在且不为0，设直线PD的斜率为k，则PD：y=kx-1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-1}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$得P（$\frac{18k}{9{k}^{2}+1}$，$\frac{9{k}^{2}-1}{9{k}^{2}+1}$），…（7分）
用-$\frac{1}{k}$去代k，得M（$\frac{-18k}{{k}^{2}+9}$，$\frac{9-{k}^{2}}{{k}^{2}+9}$），…（9分）
作直线l关于y轴的对称直线l′，此时得到的点P′、M′关于y轴对称，
则PM与P′M′相交于y轴，可知定点在y轴上，当k=1时，P（$\frac{9}{5}$，$\frac{4}{5}$），M（-$\frac{9}{5}$，$\frac{4}{5}$），
此时直线PM经过y轴上的点T（0，$\frac{4}{5}$），…（10分）
∵k_PT=$\frac{\frac{9{k}^{2}-1}{9{k}^{2}+1}-\frac{4}{5}}{\frac{18k}{9{k}^{2}+1}}=\frac{{k}^{2}-1}{10k}$，…（12分）
k_MT=$\frac{\frac{9-{k}^{2}}{{k}^{2}+9}-\frac{4}{5}}{-\frac{18k}{{k}^{2}+9}}$=$\frac{{k}^{2}-1}{10k}$ …（14分）
∴k_PT=k_MT，
∴P，M，T三点共线，即直线PM经过点T，
故直线PM经过定点T（0，$\frac{4}{5}$）．…（15分）

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查直线是否过定点的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用，属于中档题．