Question

4．已知函数f（x）=x³+kx（k∈R），若关于x的方程f（x）=lnx+2ex²有唯一解，则下列说法正确的是（　　）

• A． k=$\frac{1}{e}$+e
• B． 函数f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线的斜率为e²-$\frac{1}{e}$
• C． 函数f（x）在[0，e]上单调递减
• D． 函数f（x）在[0，e]上的最大值为2e³+1

Answer 1

分析 由题意可得k=$\frac{lnx}{x}$+2ex-x²有唯一解，令g（x）=$\frac{lnx}{x}$+2ex-x²，求导g′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$+2（e-x），从而可得k=g（e）=$\frac{1}{e}$+e²，从而依次判断．

解答 解：∵关于x的方程f（x）=lnx+2ex²有唯一解，
∴x³+kx=lnx+2ex²有唯一解，
∴k=$\frac{lnx}{x}$+2ex-x²有唯一解，
令g（x）=$\frac{lnx}{x}$+2ex-x²，
则g′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$+2（e-x），
故当x∈（0，e）时，g′（x）＞0，
当x∈（e，+∞）时，g′（x）＜0；
故g（x）在（0，e）上是增函数，在（e，+∞）上是减函数，
故k=g（e）=$\frac{1}{e}$+e²，
故A不正确，
f′（x）=3x²+k，故f′（0）=$\frac{1}{e}$+e²，
故B不正确；
易知f（x）在[0，e]上单调递增，且f（e）=2e³+1，
故选：D．

点评 本题考查了方程的根与函数的零点的关系应用及导数的综合应用．