Question

8．已知⊙O：x²+y²=1和定点A（2，1），由⊙O外一点P（x，y）向⊙O引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|=2|PA|．
（I）求动点P的轨迹方程C；
（Ⅱ）求线段PQ长的最小值；
（Ⅲ）若以P为圆心所做的⊙P与⊙O有公共点，试求⊙P半径取最小值时的P点坐标．

Answer 1

分析 （I）由勾股定理可得 PQ²=OP²-OQ²=4PA²，即 x²+y²-1=4（x-2）²+4（y-1）²，化简可得动点P的轨迹方程C；
（Ⅱ）求出PA长的最小值，即可求线段PQ长的最小值；
（Ⅲ）⊙P半径取最小值时，OC与圆C相交的交点为所求．

解答 解：（I）连接OQ，∵切点为Q，PQ⊥OQ，由勾股定理可得 PQ²=OP²-OQ²．
由已知|PQ|=2|PA|．可得PQ²=4PA²，即x²+y²-1=4（x-2）²+4（y-1）²．
化简可得3x²+3y²-16x-8y+21=0．
（2）3x²+3y²-16x-8y+21=0，可化为（x-$\frac{8}{3}$）²+（y-$\frac{4}{3}$）²=$\frac{17}{9}$，圆心C（$\frac{8}{3}$，$\frac{4}{3}$），半径为$\frac{\sqrt{17}}{3}$
∵|CA|=$\sqrt{（2-\frac{8}{3}）^{2}+（1-\frac{4}{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∴|PA|_min=$\frac{\sqrt{17}}{3}$-$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∴线段PQ长的最小值为2（$\frac{\sqrt{17}}{3}$-$\frac{\sqrt{5}}{3}$）；
（Ⅲ）⊙P半径取最小值时，OC与圆C相交的交点为所求，
直线OC的方程为y=$\frac{1}{2}$x，代入3x²+3y²-16x-8y+21=0，可得15x²-80x+84=0，
∴x=$\frac{40±2\sqrt{85}}{15}$，
∴P半径取最小值时，P（$\frac{40-2\sqrt{85}}{15}$，$\frac{20-\sqrt{85}}{15}$）．

点评 本题主要考查求圆的标准方程的方法，圆的切线的性质，两点间的距离公式，属于中档题．