Question

3．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）+1（0＜ω＜3，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的一系列对应值如下表：

x	-$\frac{π}{3}$	-$\frac{π}{12}$	0	$\frac{π}{6}$	$\frac{5π}{12}$	$\frac{2π}{3}$	$\frac{11π}{12}$
f（x）	-1	1	2	3	1	-1	1

（1）根据表格提供的数据求函败y=f（x）的解析式；
（2）求函数y=f（x）的单调递增区间与对称中心坐标；
（3）函数y=mf（x）-1在（-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$）上有零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据表格由周期性求得ω，由特殊点的坐标求出φ，可得函数的解析式．
（2）有条件利用正弦函数的周期性、正弦函数的图象的对称性，得出结论．
（3）由题意可得函数y=mf（x）的图象和直线y=1在（-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$）上有交点，求得y=mf（x）的值域，从而求得m的范围．

解答 解：（1）根据函数f（x）=2sin（ωx+φ）+1（0＜ω＜3，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的一系列对应值表，
可得函数的周期为 $\frac{2π}{3}$+$\frac{π}{3}$=$\frac{2π}{ω}$，求得ω=2．
再根据f（0）=2sinφ+1=2，求得sinφ=$\frac{1}{2}$，∴φ=$\frac{π}{6}$，f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1．
（2）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得 kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，故函数的增区间为[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．
令2x+$\frac{π}{6}$=kπ，求得x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，可得函数的图象的对称中心为（$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，0），k∈Z．
（3）函数y=mf（x）-1在（-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$）上有零点，即函数y=mf（x）得图象和直线y=1在（-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$）上有交点．
由表格可得，在（-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$）上，f（x）的最小值为1，最大值为3，故f（x）的值域为[1，3]，
故mf（x）的值域为[m，3m]，故有m≤1≤3m，求得$\frac{1}{3}$≤m≤1．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，正弦函数的周期性、单调性、定义域和值域，正弦函数的图象的对称性，属于中档题．