Question

19．已知函数f（x）=x²+ax+3，a∈R．
（1）当a=-4时，且x∈[0，2]，求函数f（x）的值域；
（2）若关于x的方程f（x）=0在（1，+∞）上有两个不同实根，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=-4时，配方法化简f（x）=（x-2）²-1，从而求值域；
（2）由题意知$\left\{\begin{array}{l}{△={a}^{2}-12＞0}\\{-\frac{a}{2}＞1}\\{f（1）=1+a+3＞0}\end{array}\right.$，从而解得．

解答 解：（1）当a=-4时，f（x）=x²-4x+3=（x-2）²-1，
故-1≤（x-2）²-1≤3，
故函数f（x）的值域为[-1，3]；
（2）∵关于x的方程f（x）=0在（1，+∞）上有两个不同实根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{△={a}^{2}-12＞0}\\{-\frac{a}{2}＞1}\\{f（1）=1+a+3＞0}\end{array}\right.$，
解得，-4＜a＜-2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了二次函数的值域及二次方程与二次函数的关系应用．