Question

已知平面四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD，且BA=BC=4，DA=DC=2

3

，∠ABC=60°．现沿对角线AC将三角形DAC翻折，使得平面DAC⊥平面BAC．翻折后：
（Ⅰ）证明：AC⊥BD；
（Ⅱ）记M，N分别为AB，DB的中点．①求二面角N-CM-B大小的余弦值；②求点B到平面CMN的距离．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先证明线面垂直，然后利用线面垂直的性质证明AC⊥BD．
（Ⅱ）建立空间坐标系，利用空间向量求二面角的大小和点到平面的距离．

解答：解：（Ⅰ）证明：因为AC⊥BD，且BA=BC=4，DA=DC=2

3

，
所以0为AC的中点，
所以AC⊥DO，AC⊥OB，所以AC⊥面BOD，所以AC⊥BD．
（II）①因为平面DAC⊥平面BAC．所以D0⊥面ABC．
以O为坐标原点，以OA，OB，OD分别为x，y，z轴建立空间坐标系，
则A（2，0，0），C（-2，0，0），B（0，2

3

，0），D（0，0，2

2

），
则M（1，

3

，0），N（0，

3

，

2

）．则

CM

=(3，

3

，0)，

MN

=(-1，0，

2

)．
则平面BCM的法向量为

n

=(0，0，1)，
设平面NCM的法向量为

m

=(x，y，z)，则

MN • m =0 CM • m =0

，
即

-x+ 2 z=0 3x+ 3 y=0

，令z=

2

，则x=2，y=-2

3

．即

m

=(2，-2

3

，

2

)．
所以cosθ=cos＜

m

，

n

＞=

m ? n

| m |?| n |

=

2

22+(-2 3 )2+( 2 )2

=

2

18

=

1

3

，
所以二面角N-CM-B大小的余弦值为

1

3

．
②

MB

=(-1，

3

，0)，平面NCM的法向量为

m

=(2，-2

3

，

2

)．
点B到平面CMN的距离d=

| MB ? m |

| m |

=

|-2-2 3 × 3 |

22+(-2 3 )2+( 2 )2

=

8

18

=

4 2

3

，
故点B到平面CMN的距离为

4 2

3

．

点评：本题主要考查空间线面垂直的位置关系，以及利用空间向量法求二面角的大小和点到直线的距离，运算量较大，综合性较强．