Question

已知=（x，0），=（1，y），（+）⊥（-）（1）点P（x，y）的轨迹C的方程；
（2）若直线l：y=3x+m（m≠0）与曲线C交于A，B两点，D（0，-1）且，试求m的值．

Answer 1

解：（1）由已知（2分）
即x²=3+3y²，所以P的轨迹方程为（5分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点E坐标为（x₀，y₀）．
，消去y得：26x²+18mx+3m²+3=0
由韦达定理得：，则，（8分）
则AB垂直平分线方程为，
又点D（-1，0）在AB的垂直平分线上，代入方程得（11分）
（注：也可由DE的斜率为-，得，解得m=）
由△＞0，得m²＞26
所以时，直线l：y=3x+m，m≠0与双曲线C相交，符合题意，
所以．（12分）
分析：（1）由已知x²=3+3y²，由此能得到P的轨迹方程．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点E坐标为（x₀，y₀）.，消去y得：26x²+18mx+3m²+3=0
由韦达定理和根的判别式能够求出m的值．
点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．