Question

设x∈Z，则函数f(x)=cos

π

3

x的值域是

 

．

Answer 1

分析：本题中的函数是一个周期函数，随着自变量的变化，函数值会周期性的出现，可以采取分类讨论的方法求其值域．

解答：解：T=

2π

π 3

=6
当x=6k，k∈z时，f(x)=cos(

π

3

× 6k)=cos（k×2π）=1
当x=6k+1，k∈z时，f(x)=cos[

π

3

× (6k+1)]=cos（k×2π+

π

3

）=

1

2

当x=6k+2，k∈z时，f(x)=cos[

π

3

× (6k+2)]=cos（k×2π+

2π

3

）=-

1

2

当x=6k+3，k∈z时，f(x)=cos[

π

3

× (6k+3)]=cos（k×2π+π）=-1
当x=6k+4，k∈z时，f(x)=cos[

π

3

× (6k+4)]=cos（k×2π+

4π

3

）=-

1

2

当x=6k+5，k∈z时，f(x)=cos[

π

3

× (6k+5)]=cos（k×2π+

5π

3

）=

1

2

函数的值是{-1， -

1

2

，

1

2

， 1 }
故答案为{-1， -

1

2

，

1

2

， 1 }

点评：本题考点是余弦函数的定义域和值域，考查利用三角函数的性质求三角函数的值域，本题中考虑到函数是一个周期函数，故求出其周期后，把函数值分成六类来求解，用到了分类讨论的思想．