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已知F1,F2是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右焦点,点P(1,
2
2
)在椭圆上,线段PF1与y轴的交点M满足
PM
=
MF2

(1)求椭圆的标准方程;   
(2)(文)过F2的直线l交椭圆于A,B两点,且
AF2
=2
F2B
,求直线l方程.
(2)(理)过F1作不与x轴重合的直线l,l与圆x2+y2=a2+b2相交于A、B.并与椭圆相交于C、D.当
F2A
F2B
,且λ∈[
2
3
,1]
时,求△F2CD的面积S的取值范围.
分析:(1)利用点P(1,
2
2
)在椭圆上,线段PF1与y轴的交点M满足
PM
=
MF2
,可得方程
1
a2
+
1
2
b2
=1
,a2-b2=1,由此可求椭圆的标准方程;
(2)(文)设A(x1,y1),B(x2,y2)由
AF2
=2
F2B
得:x1=3-2x2,y1=-2y2,由此可求直线的方程;
(2)(理)设l方程为x=ty-1,A(x1,y1),B(x2,y2),由
x=ty-1
x2+y2=3
得(t2+1)y2-2ty-2=0,利用
F2A
F2B
=
4
t2+1
-2,及 λ∈[
2
3
,1]
,可得t2∈[
1
3
1
2
];由
x=ty-1
x2
2
+y2=1
,得(t2+2)y2-2ty-1=0,设C(x3,y3),D(x4,y4),从而可得S△F1CD=
1
2
|F1F2|y3-y4|=|y3-y4|,换元,确定S的单调性,即可得到结论
解答:解:(1)∵点P(1,
2
2
)在椭圆上,线段PF1与y轴的交点M满足
PM
=
MF2

1
a2
+
1
2
b2
=1
,a2-b2=1
∴a2=2,b2=1
∴椭圆的标准方程为
x2
2
+y2=1

.(2)(文)设A(x1,y1),B(x2,y2)由
AF2
=2
F2B
得:x1=3-2x2,y1=-2y2
x22
2
+y
 
2
2
=1和
(3-2x2)2
2
+(-2y2)2=1
解得:x2=
5
4
y2
14
8

k=±
14
2

∴直线的方程为y=±
14
2
(x-1)

(2)(理)设l方程为x=ty-1,A(x1,y1),B(x2,y2
x=ty-1
x2+y2=3
得(t2+1)y2-2ty-2=0
F2A
F2B
=(x1-1,y1)•(x2-1,y2)=(ty1-2)(ty2-2)+y1y2=(t2+1)y1y2-2t(y1+y2)+4
=
4
t2+1
-2,
λ∈[
2
3
,1]
,得t2∈[
1
3
1
2
],
x=ty-1
x2
2
+y2=1
,得(t2+2)y2-2ty-1=0
设C(x3,y3),D(x4,y4).
则S△F1CD=
1
2
|F1F2|y3-y4|=|y3-y4|=
8(t2+1)
(t2+2)2

设m=t2+1,则S=
8
m+
1
m
+2
,m∈[
4
3
3
2
]

S关于m在[
4
3
3
2
]
上是减函数.所以S∈[
4
5
3
4
7
6
]
点评:本题考查椭圆的标准方程,考查向量知识的运用,考查面积的计算,同时考查基本不等式的运用,属于中档题.
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知F1,F2是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的两个焦点,若在椭圆上存在一点P,使∠F1PF2=120°,则椭圆离心率的范围是
[
3
2
,1
[
3
2
,1

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y2
a2
+
x2
b2
=1(a>b>0)
的两个焦点,若椭圆上存在点P使得∠F1PF2=120°,求椭圆离心率的取值范围.

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已知F1、F2是椭圆的两个焦点.△F1AB为等边三角形,A,B是椭圆上两点且AB过F2,则椭圆离心率是
3
3
3
3

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已知 F1、F2是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的两个焦点,椭圆上存在一点P,使得SF1PF2=
3
b2
,则该椭圆的离心率的取值范围是
[
3
2
,1)
[
3
2
,1)

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知F1,F2是椭圆
x2
2
+y2=1
的两个焦点,点P是椭圆上一个动点,那么|
PF1
+
PF2
|
的最小值是(  )

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