Question

已知：数列{a_n}前n项和为S_n，a_n+S_n=n，数列{b_n}中b₁=a₁，b_n+1=a_n+1-a_n，
（1）写出数列{a_n}的前四项；
（2）猜想数列{a_n}的通项公式，并加以证明；
（3）求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

解：（1）∵a_n+S_n=n，∴n=1时，
n=2时，a₂+S₂=2，∴
n=3时，a₃+S₃=3，∴
n=4时，a₄+S₄=4，∴；…（2分）
（2）猜想：，下面用数学归纳法证明：…（3分）
①当n=1时，，猜想成立；
②假设当n=k时猜想成立，即，
则当n=k+1时，，
即，∴，即当n=k+1时猜想也成立，
∴由①②知：n∈N^*时都成立．…（8分）
（3）∵b_n+1=a_n+1-a_n，∴（n≥2），
∵，∴（n∈N^*）．…（10分）
分析：（1）分别令n=1，2，3，4，即可求得数列{a_n}的前四项；
（2）猜想：，再用数学归纳法证明，当n=k+1时，利用，即可证得；
（3）利用（2）的结论，结合b_n+1=a_n+1-a_n，可求数列{b_n}的通项公式．
点评：本题以数列递推式为载体，考查数列的通项，考查数学归纳法，利用数学归纳法应注意其两个步骤及一个结论