Question

①如图中△ABC，若AB、BC在平面α内，判断AC是否在平面α内.

②“线段AB在平面α内，直线AB不全在平面α内”这一说法是否正确，为什么？

③如果一条直线过平面内一点与平面外一点，那么它和这个平面有几个公共点？说明道理.

④“平面α与平面β只有一个公共点”，这一说法是否正确？说明道理.

Answer 1

解析①∵AB在平面α内，

∴A点一定在平面α内.

∵BC在平面α内.

∴C点一定在平面α内.

∴点A、点C都在平面α内.

∴直线AC在平面α内(公理1).

②不正确.

∵线段AB在平面α内

∴线段AB上的所有点都在平面α内，

∴线段上的A、B两点一定在平面α内，

∴直线AB在平面α内(公理1).

③这条直线和这个平面只有一个公共点.

假如这条直线和这个平面有两个公共点，根据公理1可得，这条直线上所有的点都在这个平面内，推得这条直线过平面外的一点也在这个平面内.这与已知矛盾.这说明直线与这个平面有两个公共点是不可能的，所以，这条直线与这个平面只有一个公共点.

④不正确.

∵根据公理3知，如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他的公共点，且所有这些公共点的集合是一条通过这个公共点的直线.

∴可知平面α与平面β有无数个公共点.

∴“平面α与平面β只有一个公共点”这一说法不正确.