Question

设二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R，a≠0）满足：x∈R时，f（x-2）=f（-x），且x²+x+5≤f（x）≤2x²+5x+9恒成立．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）已知函数f（x）-kx的图象与x轴交于A，B两点，O为坐标原点，问是否存在实数k满足

AB

=2

OA

？如果存在，求出k的值，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：函数的零点与方程根的关系,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由x²+x+5≤f（x）≤2x²+5x+9恒成立，令x=-2得f（-2）=7，又f（x-2）=f（-x），令x=2得f（0）=7，然后设二次函数解析式的两根式，代入x²+x+5≤f（x）≤2x²+5x+9可求得a，代入解析式即可，
（2）由（1）代入函数f（x）-kx的函数解析式，不妨设为g（x），然后假设存在，设交点坐标，代入方程验证．

解答： 解：（1）令x=-2，则7≤f（-2）≤7，所以f（-2）=7，
又x∈R时，f（x-2）=f（-x），从而f（0）=f（-2）=7，
故可设二次函数f（x）=ax（x+2）+7，
对于x∈R，x²+x+5≤ax²+2ax+7，即（a-1）x²+（2a-1）x+2≥0
则（2a-1）²-8（a-1）≤0且a＞1，化简得（2a-3）³≤0，解得a=

3

2

所以函数f（x）的解析式为f(x)=

3

2

x2+3x+7；                            
（2）设g（x）=f（x）-kx，g(x)=

3

2

x2+(3-k)x+7
因为g（0）=7＞0，所以A，B一定在y轴的同侧，设A（α，0），B（β，0），
由

AB

=2

OA

有β=3α，
又可知α，β是方程

3

2

x2+(3-k)x+7=0的两实数根，
由韦达定理可得，β+α=

2k-6

3

，αβ=

14

3

，
解得，k=3±2

14

，经检验，符合△＞0．

点评：解题的关键是对于题目条件中几个式子的理解和运用，属于做题中的技巧，要多熟练，孰能生巧．