Question

已知函数f（x）=

1

x

+lnx．
（1）求函数f（x）在（2，f（2））处的切线方程；
（2）若g（x）=f（x）+mx在[1，+∞）上为单调函数，求实数m的取值范围；
（3）若在[1，e]上至少存在一个x₀，使得kx₀-f（x₀）＞

2e

x0

成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（1）求出函数的导数，求出切线的斜率和切点，再由点斜式方程，即可得到切线方程；
（2）求出导数，由条件g（x）在其定义域内为单调函数，则mx²+x-1≥0或者mx²+x-1≤0在[1，+∞）恒成立．运用分离参数，求出右边的最值即可；
（3）构造F（x）=kx-lnx-

1

x

-

2e

x

，则转化为：若在[1，e]上存在x₀，使得F（x₀）＞0，求实数k的取值范围．
讨论k＞0，k≤0，运用导数判断单调性，即可得到．

解答： 解：（1）函数f（x）=

1

x

+lnx的导数
f′（x）=-

1

x2

+

1

x

，
则在（2，f（2））处的切线斜率为：f′（2）=

1

2

-

1

4

=

1

4

，
切点为（2，ln2+

1

2

），
则切线方程为：y-（ln2+

1

2

）=

1

4

（x-2），
即有y=

1

4

x+ln2；
（2）g（x）=f（x）+mx=

1

x

+lnx+mx，
g′（x）=-

1

x2

+

1

x

+m=

mx2+x-1

x2

，
∵g（x）在其定义域内为单调函数，
∴mx²+x-1≥0或者mx²+x-1≤0在[1，+∞）恒成立．
∴m≥

1-x

x2

或者∴m≤

1-x

x2

在[1，+∞）恒成立．
由于-

1

4

≤

1-x

x2

≤0，
∴m的取值范围是m≤-

1

4

，或m≥0；
（3）构造F（x）=kx-lnx-

1

x

-

2e

x

，
则转化为：若在[1，e]上存在x₀，使得F（x₀）＞0，求实数k的取值范围．
①当k≤0时，1≤x≤e，F（x）＜0在[1，e]恒成立，
则在[1，e]上不存在x₀，使得kx₀-f（x₀）＞

2e

x0

成立；
②当k＞0，F′（x）=k+

1+2e

x2

-

1

x

=

kx2+1+e+(e-x)

x2

，
由于1≤x≤e，则e-x＞0，则F′（x）＞0在[1，e]恒成立．
故F（x）在[1，e]递增，F（x）_max=F（e）=ke-3-

1

e

，
只要ke-3-

1

e

＞0，解得k＞

3e+1

e2

，
综上，k的取值范围是（

3e+1

e2

，+∞）．

点评：本题考查导数的运用：求切线方程，求单调性和最值，考查构造函数，运用导数判断单调性，再求最值的方法，考查运算能力，属于中档题．