Question

（2003•朝阳区一模）已知：如图，过椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦点F（-c，0）作垂直于长轴A₁A₂的直线与椭圆c交于P、Q两点，l为左准线．
（Ⅰ）求证：直线PA₂、A₁Q、l共点；
（Ⅱ）若过椭圆c左焦点F（-c，0）的直线斜率为k，与椭圆c交于P、Q两点，直线PA₂、A₁Q、l是否共点，若共点请证明，若不共点请说明理由．

Answer 1

分析：（I）联立

x=-c x2 a2 + y2 b2 =1

，解得点P，Q的坐标，得到直线PA₂的方程与直线A₁Q的方程，只要联立解得x=-

a2

c

即可；
（II）设点P、Q的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），不妨设x₁＞x₂．
直线PA₂、A₁Q的斜率分别为k₁，k₂，则k1=

y1

x1-a

，k2=

y2

x2+a

，
直线PA₂的方程为y=k₁（x-a），直线A₁Q的方程为y=k₂（x+a）．联立解得x=

a(k1+k2)

k1-k2

=

x1y2+x2y1+a(y1-y2)

-x1y2+x2y1+a(y1+y2)

•a．
直线PQ的方程为y=k（x+c），与椭圆方程联立．设M=b²+a²k²，方程（*）的二根为x₁，x₂，则x1+x2=-

2a2k2c

M

，x1x2=

a2c2k2-a2b2

M

．
由于点P，Q在直线PQ上，可得y₁=k（x₁+c），y₂=k（x₂+c）．经计算可得x=-

a2

c

，即可．

解答：解：（I）联立

x=-c x2 a2 + y2 b2 =1

，解得

x=-c y= b2 a

或

x=-c y=- b2 a

，则等P(-c，

b2

a

)，Q(-c，-

b2

a

)．
直线PA₂的方程为y=

b2

-a(a+c)

(x-a)，直线A₁Q的方程为y=

b2

a(c-a)

(x+a)．联立

y= b2 -a(a+c) (x-a) y= b2 a(c-a) (x+a)

，解得x=-

a2

c

．
由于左准线的方程为x=-

a2

c

，∴直线PA₂与A₁Q的交点在准线l上．
故直线PA₂、A₁Q、l相交于一点．
（II）设点P、Q的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），不妨设x₁＞x₂．
直线PA₂、A₁Q的斜率分别为k₁，k₂，则k1=

y1

x1-a

，k2=

y2

x2+a

，
直线PA₂的方程为y=k₁（x-a），直线A₁Q的方程为y=k₂（x+a）．
联立

y=k1(x-a) y=k2(x+a).

解得x=

a(k1+k2)

k1-k2

=

x1y2+x2y1+a(y1-y2)

-x1y2+x2y1+a(y1+y2)

•a．
直线PQ的方程为y=k（x+c），联立

y=k(x+c) x2 a2 + y2 b2 =1

，化为（b²+a²k²）x²+2a²k²cx+a²c²k²-a²b²=0（*）．
设M=b²+a²k²，方程（*）的二根为x₁，x₂，则x1+x2=-

2a2k2c

M

，x1x2=

a2c2k2-a2b2

M

．
∵点P，Q在直线PQ上，∴y₁=k（x₁+c），y₂=k（x₂+c）．
∴y1+y2=

2b2ck

M

，y1-y2=

2abkN

M

，其中N=

b2+a2k2-c2k2

，
x1y2+x2y1=-

2a2b2k

M

，-x1y2+x2y1=-

2abckN

M

．
∴x=

- 2a2b2k M +a• 2abkN M

- 2abckN M +a• 2b2ck M

•a=-

a2

c

，
由于左准线的方程为x=-

a2

c

，∴直线PA₂与A₁Q的交点在准线l上．
故直线PA₂，A₁Q，l相交于一点．

点评：本题中考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、直线与直线相交问题转化为方程联立得到方程组等i垂直属于基本技能，考查了较强的计算能力、推理能力和解决问题的能力．