Question

已知∠A、∠B、∠C是△ABC的三个内角，且满足2sinA=

3

sinC-sinB
（Ⅰ）求∠A的取值范围；
（Ⅱ）若∠A取最大值时∠B=

π

6

，且BC边上的中线AM的长为

7

，求此时△ABC的面积．

Answer 1

考点：正弦定理,两角和与差的正弦函数

专题：计算题,综合题,函数的性质及应用,解三角形

分析：（Ⅰ）由已知化简可得

sinA

3 -cosA

=

sinC

2+cosC

，以

1

m

代替上式，由角C的存在性找出

1

m

的取值限制，再由m推求对A的取值限制，可求得A的范围．
（Ⅱ）由已知由三角形面积公式即可求值．

解答： 解：（Ⅰ）已知2sinA=

3

sinC-sinB，将sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC代入：
2sinA=

3

sinC-sinAcosC-cosAsinC；
分离A、C：

sinA

3 -cosA

=

sinC

2+cosC

；①
以

1

m

代替上式，由角C的存在性找出

1

m

的取值限制，再由m推求对A的取值限制，这样就能满足各种要求；
由

sinC

2+cosC

=

1

m

⇒msinC=2+cosC
⇒m²sin²C=4+4cosC+cos²C
⇒（1+m²）cos²C+4cosC+4-m²=0；
若三角形存在，即C存在，上列关于cosC的二次方程有实数解，根的判别式不小于0：
4²-4×（1+m²）（4-m²）≥0
⇒m²-3≥0
⇒m≥

3

；
重回①式：

sinA

3 -cosA

≤

1

3

⇒

3

sinA≤

3

-cosA
⇒3sin²A≤3-2

3

cosA+cos²A；
消去正弦函数：4cos²A-2

3

cosA≤0，
解得：cosA≥

3

2

，A=0°～30°；
（Ⅱ）∵若A=90°，B=

π

6

，BC边上的中线AM=

7

，
∴则此直角三角形斜边BC=2AM=2

7

，短边AC=

7

，中直角边AB=

21

，
∴S_△ABC=

1

2

×AC×AB=

1

2

×

7

×

21

=

7 3

2

；

点评：本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，一元二次方程的性质，考查了计算能力和转化思想，综合性强，属于中档题．