Question

5．设f（x）是R上的可导函数，且f′（x）≥-f（x），f（0）=1，f（2）=$\frac{1}{{e}^{2}}$．则f（1）的值为$\frac{1}{e}$．

Answer 1

分析 根据条件构造函数g（x）=f（x）e^x，求函数的导数，研究函数的单调性即可得到结论．

解答 解：设g（x）=f（x）e^x，
则g′（x）=f′（x）e^x+f（x）e^x=e^x（f′（x）+f（x）），
∵f′（x）≥-f（x），∴f′（x）+f（x）≥0，
则g′（x）≥0，
则函数g（x）为单调递增函数或常数函数，
∵f（0）=1，f（2）=$\frac{1}{{e}^{2}}$．
∴g（0）=f（0）e⁰=1，
g（2）=f（2）e²=1，
则g（0）=g（2）=1，
∴函数g（x）是常数函数，
则g（x）=1，即g（1）=f（1）e=1，
则f（1）=$\frac{1}{e}$，
故答案为：$\frac{1}{e}$

点评 本题主要考查函数值的计算，根据条件构造函数，求函数的导数研究函数单调性的性质是解决本题的关键．