Question

如图，函数f（x）=ax³+bx²+cx+d图象与x轴相切于原点．
（1）求证：b＞0
（2）已知x₁=1，设g（x）=ex²，若在[0，e]上至少存在一点x₀，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据图象可得到函数在x=0处的函数值与导数都等于0，就可求出c，d的值，再通过图象判断函数的单调性，得到导数取正值和负值的范围，因为导数是关于x的二次函数，根据导数何时取正值，何时取负值，就可判断a的符号，和对称轴的符号，进而得到b的范围．
（2）先由x₁=1，得f′（1）=0，从而f（x）=-

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bx³+bx²，再构造新函数h（x））=f（x）-g（x）=-

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3

bx³+（b-e）x²=x²（-

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3

bx+b-e），若在[0，e]上至少存在一点x₀，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，只需h（x）＞0在[0，e]上有解，即-

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bx+b-e＞0在[0，e]上有解，最后将问题转化为求函数y=-

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bx+b-e在[0，e]上的最大值问题即可

解答：解：（1）证明：

f(0)=0 f′(0)=0

⇒f(x)=ax3+bx2=x2(ax+b)
∴f′（x）=3ax²+bx，通过图象可得出，
当x＜0时，原函数为减函数，当0＜x＜x₁时，原函数为增函数，当x＞x₁时，原函数为减函数，
∴当x＜0时，导数小于0，当0＜x＜x₁时，导数大于0，当x＞x₁时，导数小于0，
∴导函数f′（x）=3ax²+bx图象为开口向下的抛物线，且对称轴在0和x₁之间
∴a＜0，-

b

6a

＞0，∴b＞0
（2）解：∵f′（1）=0，∴b=-3a，∴f（x）=-

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3

bx³+bx²
令h（x）=f（x）-g（x）=-

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bx³+（b-e）x²=x²（-

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bx+b-e）
若在[0，e]上至少存在一点x₀，使得f（x₀）＞g（x₀）成立
即h（x）＞0在[0，e]上有解，即-

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3

bx+b-e＞0在[0，e]上有解
只需y=-

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3

bx+b-e在[0，e]上的最大值大于零，
∵b＞0
∴y=-

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3

bx+b-e在[0，e]上的最大值为b-e
∴b＞e即可

点评：本题考察了导数应用，转化化归的思想方法，解题时要透彻理解函数性质与方程、不等式的内在联系，准确解题