Question

15．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}，x≥0}\\{-2x，x＜0}\end{array}\right.$，若函数g（x）=f（f（x））+k在x∈R上有且仅有一个零点，则实数k的取值范围是（　　）

• A． （e，+∞）
• B． （1，e）
• C． （-∞，-e）
• D． （-e，-1）

Answer 1

分析 依题意知-k=f（f（x））=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{{e}^{x}}，x≥0}\\{{e}^{-2x}，x＜0}\end{array}\right.$，x≥0，${e}^{{e}^{x}}$≥e，x＜0，e^-2x＞1，根据函数g（x）=f（f（x））+k在x∈R上有且仅有一个零点，即可得出结论．

解答 解：依题意知-k=f（f（x））=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{{e}^{x}}，x≥0}\\{{e}^{-2x}，x＜0}\end{array}\right.$，
x≥0，${e}^{{e}^{x}}$≥e，x＜0，e^-2x＞1，
∵函数g（x）=f（f（x））+k在x∈R上有且仅有一个零点，
∴1＜-k＜e，∴-e＜k＜-1，
故选：D．

点评 本题考查分段函数，考查函数的零点，考查学生分析解决问题的能力，正确求出分段函数是关键．