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三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,AC⊥BC,AC=3,BC=4,AA1=4,
(1)求异面直线AB与B1C所成角的余弦值;
(2)求证:面ACB1⊥面ABC1
(1)连接A1C,∵A1B1AB,∴∠A1B1C即为AB与B1C所成角或其补角,
在Rt△CBB1中,CB1=
BC2+BB12
=
42+42
=4
2
,在Rt△A1AC中,A1C=
A1A2+AC2
=
42+32
=5,
在Rt△ACB中,AB=
AC2+CB2
=
32+42
=5,
在△A1B1C中,由余弦定理得,cos∠A1B1C=
A1B12+CB12-A1C2
A1B1×CB1
=
52+(4
2
)2-52
2×5×4
2
=
2
2
5

故异面直线AB与B1C所成角的余弦值为
2
2
5

(2)证明:分别以
CA
CB
CC1
的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,
则C(0,0,0),C1(0,0,0),A(3,0,0),B(0,4,0),B1(0,4,4),
CB1
=(0,4,4),
CA
=(3,0,0),
AC1
=(-3,0,4),
AB
=(-3,4,0),
n1
=(x,y,z)为平面ACB1的一个法向量,则
n1
CB1
=0
n1
CA
=0
,即
4y+4z=0
3x=0
,取
n1
=(0,1,-1),
n2
=(x,y,z)为平面ABC1的一个法向量,则
n2
AC1
=0
n2
AB
=0
,即
-3x+4z=0
-3x+4y=0
,取
n2
=(4,3,3),
因为
n1
n2
=(0,1,-1)•(4,3,3)=0×4+1×3+(-1)×3=0,
所以
n1
n2

故面ACB1⊥面ABC1
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题



如图,长方体中,
的中点
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同时成立?若存
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正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC与B1D所成的角为(  )
A.
π
6
B.
π
4
C.
π
3
D.
π
2

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若直线m与平面α所成角为
π
3
,直线n?α,则直线m,n所成角的取值范围是(  )
A.(0,
π
2
)
B.[
π
6
π
2
]
C.[
π
3
π
2
]
D.[
π
6
π
3
]

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如图,点P在正方形ABCD所在平面外,PD⊥平面ABCD,PD=AD,则PA与BD所成角的度数为(  )
A.30°B.45°C.60°D.90°

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如图,正方体ABCD-A′B′C′D′中,直线D′A与DB所成的角可以表示为(  )
A.∠D′DBB.∠AD′C′C.∠ADBD.∠DBC′

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如图,在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,CD的中点.
(1)若AB=BC=CD=AD=AC=BD=2a,求EF的长;
(2)若AD=BC=2a,EF=
3
a
,求异面直线AD与BC所成的角的余弦值.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别为棱A1B1和BB1的中点,那么异面直线AM和CN所成角的余弦值是(  )
A.
3
2
B.
10
2
C.
2
5
D.-
2
5

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